Calculer une longueur avec le théorème de Thalès

Théorème de Thalès, la méthode Evoludia

On se retrouve aujourd’hui pour aborder le deuxième théorème du collège : le théorème de Thalès. On va voir comment on rédige, quelles sont les conditions d’utilisation etc. pour avoir tous les points et maximiser ses chances de réussite au brevet.

Premier cas de figure : le petit triangle dans le grand

Le premier type de figure dans lequel on peut appliquer le théorème de Thalès, c’est quand on a un petit triangle inclus dans un grand triangle.

Le théorème de Thalès dit qu’il y a proportionnalité entre les triangles. Si vous voulez que votre enfant retienne : c’est les longueurs du petit triangle sur les longueurs du grand triangle ou l’inverse.

Pour vérifier qu’on peut utiliser le théorème de Thalès, on doit avoir deux triangles et deux droites parallèles. Dans un exercice le jour du brevet, il faudra toujours vérifier. Si ce n’est pas dit, il faudra le démontrer.

La première phrase à écrire est que les points sont alignés :

Les points R, S, T sont alignés dans cet ordre.
Les points R, V, U sont alignés dans cet ordre.

Les deux droites parallèles sont les droites (TU) et (SV). On peut l’écrire en langage mathématique avec le symbole « deux barres » ∥ ou en français : « les droites (TU) et (SV) sont parallèles ».

Ensuite on écrit : D’après le théorème de Thalès (Thalès avec un T majuscule puisque c’est un nom propre), on a :

On met les côtés du grand triangle en bas et les côtés du petit triangle en haut ou l’inverse, au choix.
Pour les enseignants, aucune importance, le tout est d’être cohérent.

On remplace maintenant par les valeurs connues :

On cherche RU. On cache le quotient inutile pour ne pas perturber le cerveau et on applique le produit en croix sur les deux quotients restants :

On tape le calcul à la calculatrice. On appuie sur la touche SD pour vérifier si c’est une valeur exacte ou approchée.

RU = 4,62 cm

Deuxième cas de figure : la forme papillon

Mon grand triangle est repéré. Attention, ne jamais se fier à la figure, c’est un schéma.

Les mêmes étapes s’appliquent :

• repérer les points alignés,
• repérer les droites parallèles,
• écrire « d’après le théorème de Thalès »,
• écrire la formule avec les lettres,
• remplacer par les nombres,
• faire le calcul, trouver le résultat.

Étape 1 : Points alignés

Les points C, A, P sont alignés dans cet ordre. Les points B, A, M sont alignés dans cet ordre.

Étape 2 : Droites parallèles

(BC) ∥ (PM)

ou en français

Les droites (BC) et (PM) sont parallèles.

Étape 3 : Théorème de Thalès

Rappel : Thalès et Pythagore prennent tous les deux un H après le T. Seul le mot hypoténuse ne prend pas de H après le T.

Étape 4 : On remplace par les valeurs

On cherche PM. On cache le troisième quotient (AM est inconnu), et on applique le produit en croix sur les deux premiers :

On tape à la calculatrice, on appuie sur SD :

PM = 11,25

C’est bien une valeur inférieure à 15, ce qui est cohérent puisque PM appartient au plus petit triangle.

J’espère que cela vous aura aidé ! Demain nous verrons la réciproque du théorème de Thalès et surtout comment la rédiger, parce que comme pour le théorème de Pythagore, on doit bien tout séparer.