Illustration d'une feuille, d'un compas, un raporteur et d'un crayon

Faire des calculs avec des racines carrées

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Je vais te montrer comment faire des calculs avec des racines carrées en 2de.

Calculs et racines carrées : développements et identités remarquables

Bonjour à tous. Aujourd’hui, je suis ravie de vous retrouver et nous allons parler des racines carrées et notamment des calculs avec les racines carrées. J’ai fait un petit peu le tri et j’ai choisi de partir sur les développements et les identités remarquables, puisque j’ai fait une vidéo il n’y a pas très longtemps sur les fameuses identités remarquables.

Les formules de base

Pour ces calculs, nous utilisons deux identités remarquables principales :

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2
(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a²-b²

Premier exemple :

(23+1)2(2\sqrt{3} + 1)^2

Dans cet exemple, notre nombre a est 2 racine de 3 :

a=23a = 2\sqrt{3}

et notre nombre b est 1.

b=1b = 1

Comme le signe entre les deux est un « plus », nous appliquons la première formule.

Étape 1 : Le développement

On écrit les termes dans la formule :

(23)2+2×(23)×1+12(2\sqrt{3})^2 + 2 \times (2\sqrt{3}) \times 1 + 1^2

Note : On met des parenthèses autour de 2 Racine de 3 car le carré porte sur l’ensemble du terme.

Étape 2 : La réduction

Le carré

(23)2(2\sqrt{3})^2

correspond au nombre multiplié par lui même

(23)×(23)(2\sqrt{3})\times(2\sqrt{3})

Pour le terme central

2×2×1=42\times2\times1=4

coe qui nous donne

434\sqrt{3}

Pour le dernier terme

12=1×1=11^2 = 1 \times 1 = 1

Étape 3 : Calcul final

On simplifie

23×232\sqrt{3} \times 2\sqrt{3}

:

2×2=42 \times 2 = 4
3×3=(3)2\sqrt{3} \times \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2

Le carré annule la racine, ce qui donne 3

On obtient donc :

4×3=124 \times 3 = 12

On additionne ensuite les nombres entiers

12+1=1312 + 1 = 13

Le résultat final est

13+4313 + 4\sqrt{3}

Deuxième exemple :

(52−4)(52+4)(5\sqrt{2} – 4)(5\sqrt{2} + 4)

Ici, nous utilisons la troisième identité remarquable :

(a−b)(a+b)=a2−b2(a – b)(a + b) = a^2 – b^2

Étape 1 : Application de la formule

On pose le calcul :

(52)2−42(5\sqrt{2})^2 – 4^2

Étape 2 : Calcul des carrés

Pour

(52)2(5\sqrt{2})^2

: on fait

5×5=255 \times 5 = 25

et

2×2=2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2

. On obtient donc

25×2=5025 \times 2 = 50

Pour

424^2

:

4×4=164 \times 4 = 16

Étape 3 : Résultat final

Il ne reste plus qu’à effectuer la soustraction :

50−16=3450 – 16 = 34

Le résultat final est : 34.

Conclusion

L’utilisation des identités remarquables avec les racines carrées demande de la rigueur : il faut d’abord repérer la bonne formule, l’appliquer correctement avec les parenthèses, puis réduire les calculs en n’oubliant pas que le carré annule la racine.

Si vous avez besoin des fiches supports utilisées dans cette vidéo, n’hésitez pas à me contacter !

Questions et commentaires

Une réponse à “Faire des calculs avec des racines carrées”

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